Завдання міської олімпіади з математики 2012

Другий етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики (Дніпропетровська область) – 2012 рік.

6 клас

1. Місце для купання в морі обмежують буйки, розташовані по прямій так, що відстань між будь-якими сусідніми буйками однакова і дорівнює 12 м. Знайти відстань між третім та сьомим буйками.
2. Знайдіть усі натуральні числа x, що не перевищують З0, такі, що НСД(х,4) • НСД(х,З0) = 1. Відповідь поясніть.
3. Кожен учень деякого класу вивчає або англійську, або німецьку мови. Усього в класі 25 учнів, англійську вивчають 21, німецьку 10. Відомо, що п’ята частина тих учнів школи, які одночасно вивчають англійську та німецьку складають саме учні цього класу. Скільки учнів у школі вивчають англійську та німецьку мови?
4. Знайдіть усі способи подати число 34 у вигляді двох натуральних доданків, добуток яких дорівнює 93.
5. Михайлик та Тарасик грають у дивну гру. На кожному кроці від числа, яке раніше утворилося в результаті гри віднімається один з його дільників. Програє той, після ходу якого утвориться число 0. Гру починає Михайлик з числа 2012. Хто з гравців може грати так, щоби не зважаючи на те, як ходить другий гравець завжди вигравати?

На виконання завдань відводиться З години

7 клас

1. Кожен учень деякого класу вивчає або англійську, або німецьку мови. Усього в класі 25 учнів, англійську вивчають 21, німецьку 10. Відомо, що 15% тих учнів школи, які одночасно вивчають англійську та німецьку складають саме учні цього класу. Скільки учнів у школі вивчають англійську та німецьку мови?
2. Середнє арифметичне деяких 10 чисел дорівнює 14. Якщо чотири з них видалити з даного набору, то середнє арифметичне тих чисел, що залишаться дорівнює 11. Чому дорівнює середнє арифметичне видалених чисел?
3.  В координатній площині задано точки А(2,1); 5(5,7); С(7,4). Знайти площу трикутника АВС.
4. Михайлик та Тарасик грають у дивну гру. На кожному кроці від числа, яке раніше утворилося в результаті гри віднімається один з його дільників. Програє той, після ходу якого утвориться число 0. Гру починає Михайлик з числа 2012. Хто з гравців може грати так, щоби не зважаючи на те, як ходить другий гравець завжди вигравати?
5. 20 % родин міста X, які мають кішок (хоча б одну кішку), також мають і собак (хоча б одного собаку). 25% родин цього міста, що мають собак, також мають і кішок. 20% не мають ані кішок, ані собак. Знайти відсоток мешканців міста, що мають, як кішок, так і собак. Відповідь обґрунтуйте.

На виконання завдань відводиться З години

8 клас

1.  На сторонах АВ, ВС,АС правильного трикутника АВС зі стороною З см позначили точки L, К, М відповідно, так, що LВ = КС = АМ = 1см. Доведіть, що трикутник КLМ правильний.
2. При яких цілих  m значення виразу    буде натуральним  числом?
3. 20 % родин міста X, які мають кішок (хоча б одну кішку), також мають і собак (хоча б одного собаку). 25% родин цього міста, що мають собак, також мають і кішок. 20% не мають ані кішок, ані собак. Знайти відсоток мешканців міста, що мають, як кішок, так і собак. Відповідь обґрунтуйте.
4. Доведіть, що кількість 2013-цифрових чисел, складених з цифр 1, 2, З, 5 — парна
5. Усі точки площини пофарбовано в 4 кольори, причому кожен колір використовується. Чи обов’язково знайдеться пряма, що містить точки принаймні трьох різних кольорів?

На виконання завдань відводиться 4 години

9 клас

1. Знайдіть кількість цілих розв’язків системи нерівностей

   

2. У рівнобедрений трикутник АВС з основою АС вписано коло, центр якою віддалений від вершини В трикутника на 51 см, а точка дотику ділить бічну сторону на відрізки, довжини яких відносяться як 8:9, рахуючи від вершини кута при основі. Знайдіть площу цього трикутника.
3. Два простих числа, які відрізняються на 2 називаємо простими числами-близнюками. (наприклад, 17 та 19). Знайдіть усі трійки послідовних простих чисел (х;у;z), таких, що x,y близнюки та у, z – також близнюки.
4. Усі точки площини пофарбовано в 4 кольори, причому кожен колір використовується. Чи обов’язково знайдеться пряма, що містить точки принаймні трьох різних кольорів?
5. Чотири відрізки з довжинами a,b,c,d такі, що з будь-яких трьох з них можна скласти трикутник. Довести, що з відрізків ab+cd, ac+bd і ad+bc також можна скласти трикутник.

На виконання завдань відводиться 4 години

10 клас

1. У рівнобедрений трикутник АВС з основою АС вписано коло, центр якого віддалений від вершини В трикутника на 51 см, а точка дотику ділить бічну сторону на відрізки, довжини яких відносяться як 8:9, рахуючи від вершини кута при основі. Знайдіть площу цього трикутника.
2. Функцію f(х) здано як суму нескінченно спадної геометричної прогресії:

               a) Знайдіть значення f(1)

               б) Побудуйте графік функції у = f(x).

3. Усі точки площини пофарбовано в 4 кольори, причому кожен колір використовується. Чи обов’язково знайдеться пряма, що містить точки принаймні трьох різних кольорів?
4. Чотири відрізки з довжинами a,b,c,d  такі, що з будь-яких трьох з них можна скласти трикутник. Довести, що з відрізків ab+cd, ac+bd і ad+bc також можна скласти трикутник.
5. У Кіри та Андрія разом 2012 цукерок. Кожну хвилину одночасно Андрій віддає Юрі половину кількості своїх цукерок, а Кіра – усі свої цукерки. Якщо в Андрія стає непарна кількість цукерок, то процес припиняється. Доведіть, що такий процес не може продовжуватися нескінченно довго.

На виконання завдань відводиться 4 години

11 клас

1. З точки А, віддаленої від площини ? на відстань  d, проведені до цієї площини похилі АВ і АС під кутом З0? до площини. Їх проекції на площину ? утворюють кут в 120?. Знайдіть ВС.
2. При яких значеннях параметра а проміжок [0;a] містить не менше трьох коренів рівняння   
3. Відомо, що для деякої функції y=f(х) виконується рівність
   
     для усіх дійсних x.
   Доведіть, що ця функція періодична з періодом 4.
   Наведіть приклад такої функції.
4. Довести, що на заданій сфері можна виділити нескінчену множину точок, таку, що для будь-якої четвірки точок  A,B,C,D  з цієї множини відрізки
   АВ і СВ не перетинаються. (Сфера – множина усіх точок простору, віддалених від заданої точки на задану відстань).
5. У Кіри та Андрія разом m цукерок. Кожну хвилину одночасно Андрій віддає Кірі 1/k  від кількості своїх цукерок (тут к – деяке натуральне число), а Кіра – усі свої цукерки. Якщо в Андрія стає непарна кількість цукерок, то процес припиняється. Знайдіть усі m, для яких такий процес може продовжуватися нескінченно довго (вважається, що k задане).

На виконання завдань відводиться 4 години